在一个任意 $\triangle ABC$ 中，各边和它所对角的正弦的比相等，且等于该三角形外接圆的直径 ($2R$)：

应用场景： 已知两角一边，或两边和其中一边的对角。

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍：

推论（求角）： $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
应用场景： 已知三边求角，或已知两边及夹角求第三边。

* 注：当夹角 $C=90^\circ$ 时，$\cos 90^\circ=0$，公式退化为勾股定理 $c^2=a^2+b^2$。

正弦定理的几何直觉：
设想把一个可变三角形放入一个圆中，随着顶点的移动，三角形的角度和对边长度同时发生变化。当一个角变大时，其对边也随之拉长；当它为直角时，对边恰好是外接圆的直径。这就是比值恒等于 $2R$ 的精妙之处。

余弦定理的几何直觉：
它是勾股定理在非直角三角形下的自然推广。当夹角 $C$ 是钝角时，对边 $c$ 较长，需要加上修正项（因为 $\cos C < 0$，$-2ab\cos C > 0$）；当 $C$ 是锐角时，对边较短，需要减去修正项。