三角恒等变换 Trigonometric Identities

🎯 学习目标

理解同角三角函数基本关系式：平方和关系。

认识单位圆中正弦(y坐标)和余弦(x坐标)的几何意义。

掌握二倍角公式的推导与应用。

📐 基本关系式

基于单位圆上的点 $P(\cos\theta, \sin\theta)$ 与原点连线的长度恒为 1 (半径)。根据勾股定理：

$$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$

无论角度 $\theta$ 如何变化，正弦平方与余弦平方之和恒为 1。

💡 二倍角公式

当角度翻倍时，正弦和余弦值的变化遵循以下恒等式：

$$ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $$

$$ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta $$

二倍角变形 (降幂公式)：
$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$
$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$

单位圆与基本关系

$\sin\theta$ (y) 0.000

$\cos\theta$ (x) 1.000

$\sin^2\theta$ 0.000

$\cos^2\theta$ 1.000

平方和 $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ 1.000

拖动改变角度 $\theta$ (0° ~ 360°)

45°

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