平面向量 2D Vectors

🎯 学习目标

理解向量的几何表示（平行四边形法则和三角形法则）。

掌握向量加减法的坐标运算。

熟悉数量积（点积）及其几何意义（求夹角）。

➕ 加法与减法

设 $\vec{u} = (x_1, y_1)$，$\vec{v} = (x_2, y_2)$

$$ \vec{u} + \vec{v} = (x_1+x_2, y_1+y_2) $$

平行四边形法则： 将两向量起点重合，它们为邻边作平行四边形，对角线即为和向量。

三角形法则 (减法)： $\vec{u} - \vec{v}$ 的几何意义是从 $\vec{v}$ 的终点指向 $\vec{u}$ 的终点。

✖️ 数量积 Dot Product

两个向量的数量积（点积）是一个标量：

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 $$

点积也与夹角 $\theta$ 有关：$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$。
利用这点可以方便地求两向量夹角：

$$ \cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} $$

拖动蓝/红质点调整向量
(Drag blue/red dots)

$\vec{u}$ (0.0, 0.0)

$\vec{v}$ (0.0, 0.0)

$\vec{u} + \vec{v}$ (0.0, 0.0)

大小 $|\vec{u}|$ 0.0

大小 $|\vec{v}|$ 0.0

夹角 $\theta$ 0.0°

点积 $\vec{u} \cdot \vec{v}$ 0.0

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